数字信号处理复习提纲

本文档仅用于复习蒋武杨老师的课程《数字信号处理》。参考书本为《数字信号处理（第五版）》9787560664828。

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绪论

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P2

数字信号处理的实现方法，分为软件实现方法和硬件实现方法：

• 软件实现方法指的是按照原理和算法，自己编写程序或者采用现成的程序在通用计算机上实现；
• 用单片机实现的方法属于软硬结合实现......采用专用的数字信号处理芯片（DSP芯片）是目前发展最快、应用最广的一种方法；
• 对于更高速的实时系统，DSP的速度也不满足要求时，应采用可编程超大规模器件或开发专用芯片来实现。

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第1章

时域离散信号和时域离散系统

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P4

如果信号的 自变量 和 函数值 都是 连续值 ，则称这种信号为 模拟信号 ，或者称为 时域连续信号 ，例如语言信号、温度信号等；

如果 自变量 取 离散值 ， 而 函数值 取 连续值 ， 则称这种信号为 时域离散信号 ，这种信号通常来源于对模拟信号的采样；

如果信号的 自变量 和 函数值 均取 离散值 ， 则称为 数字信号 。

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P5

信号有模拟信号、时域离散信号和数字信号之分，按照系统的输入输出信号的类型，系统也分为模拟系统、时域离散系统和数字系统。

数字信号处理最终要处理的是数字信号，但为简单，在理论研究中一般研究时域离散信号和系统。

假设模拟信号$x_a(t)$，在离散时间点$t_n$对它进行采样，得到$x_a(t_n)$，$n$为整数。$x_a(t_n)$是离散时间变量$t_n$的函数，仅在离散时间点$t_n$上有意义，而在其他时间则没有定义。在实际应用中，通常采样间隔为常数$T$，即$t_n=nT$。这种采样称为等间隔采样（均匀采样），采样得到的信号记为

$$x[n]=x_a(t){|}_{t=nT}=x_a(nT)-\mathrm{\infty }<n<\mathrm{\infty }$$

按照国际通用惯例，模拟信号的$(t)$用圆括号，而数字信号的$[n]$用方括号。方括号用来提醒读者：方括号里的自变量$n$只取整数。

至于在考试时，圆括号和方括号都算对。

显然$x[n]$是一个有序的数字集合，因此时域离散信号也可以称为序列。

时域离散信号有三种表示方法

1. 用集合符号表示序列
2. 用公式表示序列
3. 用图形表示序列

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P7

单位脉冲序列$\delta$(n)

$$\delta (n)=\{\begin{array}{ll}1,& n=0\\ 0,& n\ne 0\end{array}$$

单位脉冲序列也称为单位采样序列，在《信号与系统》书中成为单位序列。

矩形序列$R_N(n)$

$$R_N(n)=\{\begin{array}{ll}1& 0\le n\le N-1\\ 0& \text{其他}n\end{array}$$

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P8

正弦序列

$$x(n)=sin(\omega n)$$

式中，$\omega$称为正弦序列的数字域频率（也称数字频率），单位是弧度（rad），它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间相位变化的弧度数。

在《信号与系统》书中，把数字域频率称为数字角频率。

如果正弦序列是由模拟信号$x_a(t)$采样得到的，那么

$$\begin{gathered} x_a(t)=sin(\mathrm{\Omega }t)=sin(2\pi ft) \\ x(n)=x_a(t){|}_{t=nT}=sin(\mathrm{\Omega }nT)=sin(\omega n) \end{gathered}$$

$\omega$与模拟角频率$\mathrm{\Omega }$之间的关系为

$$\omega =\mathrm{\Omega }T$$

上述公式具有普遍意义，它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率$\mathrm{\Omega }$与序列的数字域频率$\omega$呈线性关系。由于采样频率$F_s$与采样周期$T$互为倒数，因而有

$$\omega =\frac{\mathrm{\Omega }}{F_s}=2\pi \frac{f}{F_s}$$

上式表示数字域频率是模拟角频率对采样频率的归一化频率。本书中用$\omega$表示数字域频率，$\mathrm{\Omega }$和$f$分别表示模拟角频率和模拟频率。

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P9

负指数序列

$$x(n)=e^{(\sigma +j{\omega }_0)n}$$

式中，${\omega }_0$为数字域频率。设$\sigma =0$，用极坐标和实部虚部表示如下式：

$$\begin{gathered} x(n)=e^{j{\omega }_{0}n} \\ x(n)=cos({\omega }_{0}n)+jsin({\omega }_{0}n) \end{gathered}$$

由于$n$取整数，下面等式成立：

$$\begin{gathered} e^{j({\omega }_0+2\pi M)n}=e^{j{\omega }_{0}n} \\ cos[({\omega }_0+2\pi M)n]=cos({\omega }_{0}n) \\ sin[({\omega }_0+2\pi M)n]=sin({\omega }_{0}n) \end{gathered}$$

上面公式中$M$取整数，所以对数字域频率而言，正弦序列和负指数序列都是以$2\pi$为周期的。在以后的研究中，在频率域只分析研究其主值区$[-\pi ,\pi ]$或$[0,2\pi ]$就够了。

周期序列

如果对所有$n$，存在一个最小的正整数$N$，使下面等式成立：

$$x(n)=x(n+mN)m\mathrm{为}\mathrm{整}\mathrm{数}$$

则称序列$x(n)$为周期性序列，周期为$N$。

对于一般正弦序列与负指数序列的周期性讨论请查阅书本P9。

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P12

系统的输入、输出之间满足线性叠加原理的系统称为线性系统。

如果系统对输入信号的运算关系$T$[ · ]在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则称这种系统为时不变系统。

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P13

设系统的输入$x(n)=\delta (n)$，系统输出$y(n)$的初始状态为零，定义这种条件下的系统输出为系统单位脉冲响应。

在《信号与系统》书中称为单位序列。

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P18

如果系统$n$时刻的输出只取决于$n$时刻以及$n$时刻以前的输入序列，而和$n$时刻以后得输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。

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P19

如果对有界输入，系统产生的输出也是有界的，则称该系统具有稳定性质，或称该系统为稳定系统。

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P24

模拟信号数字处理框图

$$x_a(t)\stackrel{}{\to }\boxed{{\displaystyle \text{预滤波}}}\stackrel{}{\to }\boxed{{\displaystyle \text{ADC}}}\stackrel{}{\to }\boxed{{\displaystyle \text{数字信号处理}}}\stackrel{}{\to }\boxed{{\displaystyle \text{DAC}}}\stackrel{}{\to }\boxed{{\displaystyle \text{平滑滤波}}}\stackrel{}{\to }{y}_a(t)$$

ADC(Analog/Digital Converter) 模/数转换器
DAC(Digital/Analog Converter) 数/模转换器

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P27

总结上述内容，采样定理叙述如下：

（1）对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率 ${\mathrm{\Omega }}_s$ 为周期进行周期性的延拓形成的，用如下公式表示。

$$\begin{array}{rl}{\hat{X}}_a(j\mathrm{\Omega })& =\frac{1}{2\pi }{X}_a(j\mathrm{\Omega })\ast P_{\delta }(j\mathrm{\Omega })\\ & =\frac{1}{2\pi }\cdot \frac{2\pi }{T}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_a(j\theta )\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\mathrm{\Omega }-k{\mathrm{\Omega }}_s-\theta )d\theta \\ & =\frac{1}{T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_a(j\theta )\delta (\mathrm{\Omega }-k{\mathrm{\Omega }}_s-\theta )d\theta \\ & =\frac{1}{T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_a(j\mathrm{\Omega }-jk{\mathrm{\Omega }}_s)\end{array}$$

关键符号说明：
${\hat{X}}_a(j\mathrm{\Omega })$：采样信号的频谱；
$X_a(j\mathrm{\Omega })$：原连续信号的频谱；
$P_{\delta }(j\mathrm{\Omega })$：采样脉冲（冲击串）的频谱；
${\mathrm{\Omega }}_s=\frac{2\pi }{T}$：采样角频率（$T$ 为采样周期）；
$\delta (\cdot )$：单位冲击函数；
$k$：整数，代表周期延拓的“副本”序号。

（2）设连续信号 $x_a(t)$ 属带限信号，最高截止频率为 ${\mathrm{\Omega }}_c$，如果采样角频率 ${\mathrm{\Omega }}_s\ge 2{\mathrm{\Omega }}_c$（采样频率$F_s\ge 2f_c$），那么让采样信号 ${\hat{x}}_a(t)$ 通过一个增益为 $T$、截止频率为 ${\mathrm{\Omega }}_s/2=\pi /T$ 的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号 $x_a(t)$。否则，${\mathrm{\Omega }}_s<2{\mathrm{\Omega }}_c$ 会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。

实际中对模拟信号进行采样，需根据模拟信号的截止频率，按照采样定理的要求选择采样频率，即 ${\mathrm{\Omega }}_s\ge 2{\mathrm{\Omega }}_c$，但考虑到理想滤波器 $G(j\mathrm{\Omega })$ 不可实现，要有一定的过渡带，为此可选 ${\mathrm{\Omega }}_s=(2+\alpha ){\mathrm{\Omega }}_c$，$\alpha >0$。另外，可以在采样之前加一抗混叠的低通滤波器，滤除高于 ${\mathrm{\Omega }}_s/2$ 的一些无用的高频分量和其他的一些杂散信号。这就是在模拟信号数字处理框图中采样之前加预滤波的原因。

加平滑滤波器的原因请查阅书本P32第五行

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第2章

时域离散信号和系统的频域分析

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P79

设系统初始状态为零，系统对输入为单位脉冲序列 $\delta (n)$ 的响应输出称为系统的单位脉冲响应 $h(n)$。对 $h(n)$ 进行傅里叶变换，得到：

$$H(e^{j\omega })=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h(n)e^{-j\omega n}=|H(e^{j\omega })|e^{j\phi (\omega )}$$

一般称 $H(e^{j\omega })$ 为系统的频率响应函数，或称系统的传输函数，它表征系统的频率响应特性。$|H(e^{j\omega })|$ 称为幅频特性函数，$\phi (\omega )$ 称为相频特性函数。

将 $h(n)$ 进行 $Z$ 变换，得到 $H(z)$，一般称 $H(z)$ 为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。对 $N$ 阶差分方程进行 $Z$ 变换，得到系统函数的一般表示式：

$$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\sum _{i=0}^M{b}_i{z}^{-i}}{\sum _{i=0}^N{a}_i{z}^{-i}}$$

上面提到的 ”对 $h(n)$ 进行傅里叶变换“ 、”对 $h(n)$ 进行 $Z$ 变换“ 等术语，在我们学习时可不用理会，即使不学文中所说的 ”傅里叶变换“、” $Z$ 变换“ ，仍能理解相关知识点。

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第3章

离散傅里叶变换（DFT）

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P95~P98

设 $x(n)$ 是一个长度为 $M$ 的有限长序列，则定义 $x(n)$ 的 $N$ 点离散傅里叶变换为

$$X(k)=\text{DFT}[x(n)]=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{kn}k=0,1,\dots ,N-1$$

$X(k)$ 的离散傅里叶逆变换（Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT）为

$$x(n)=\text{IDFT}[X(k)]=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X(k)W_N^{-kn}n=0,1,\dots ,N-1$$

式中，$W_N=e^{-j\frac{2\pi }{N}}$ ，$N$ 称为 DFT 变换区间长度，$N\ge M$ 。

按照国际通用惯例，DFT的 $X[k]$ 用方括号，表示 $k$ 只取整数。

前面定义的 DFT 变换对中，$x(n)$ 与 $X(k)$ 均为有限长序列，但由于 $W_N^{kn}$ 的周期性，使变换式中的 $X(k)$ 和 $x(n)$ 隐含周期性，且周期均为 $N$。对任意整数 $m$，总有

$$W_N^k=W_N^{k+mN}k,m\text{ 为整数，}N\text{ 为自然数}$$

所以离散傅里叶变换式中，$X(k)$ 满足：

$$X(k+mN)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{(k+mN)n}=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{kn}=X(k)$$

实际上，任何周期为 $N$ 的周期序列 $\tilde{x}(n)$ 都可以看做长度为 $N$ 的有限长序列 $x(n)$ 的周期延拓序列，而 $x(n)$ 则是 $\tilde{x}(n)$ 的一个周期，即

$$\tilde{x}(n)=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(n+mN)$$$$x(n)=\tilde{x}(n)R_N(n)$$

上述关系如书本P98图 3.1.2(a) 和 (b) 所示。一般称周期序列 $\tilde{x}(n)$ 中从 $n=0$ 到 $N-1$ 的第一个周期为 $\tilde{x}(n)$ 的主值区间，而主值区间上的序列称为 $\tilde{x}(n)$ 的主值序列。因此 $x(n)$ 与 $\tilde{x}(n)$ 的上述关系可叙述为：$\tilde{x}(n)$ 是 $x(n)$ 的周期延拓序列，$x(n)$ 是 $\tilde{x}(n)$ 的主值序列。

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P99

MATLAB 提供了用快速傅里叶变换算法 FFT（算法见第 4 章介绍）计算 DFT 的函数 fft，其调用格式如下：

XK = fft(xn, N)

调用参数 xn 为被变换的时域序列向量，N 是 DFT 变换区间长度。当 N 大于 xn 的长度时，fft 函数自动在 xn 后面补零。函数返回 xn 的 $N$ 点 DFT 变换结果向量 Xk，这时，$X(k)=\text{DFT}[x(n){]}_N=\text{Xk}(k+1)$，$k=0\sim N-1$。当 N 小于 xn 的长度时，fft 函数计算 xn 的前面 $N$ 个元素组成的 $N$ 长序列的 $N$ 点 DFT，忽略 xn 后面的元素。

ifft 函数计算 IDFT ，其调用格式与 fft 函数相同，可参考 help 文件。

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P118

用 DFT 分析连续信号谱的原理示意图

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P120

在对连续信号进行谱分析时，主要关心两个问题，这就是谱分析范围和频率分辨率。

谱分析范围为 $[0,F_s/2]$，直接受采样频率 $F_s$ 的限制。为了不产生频谱混叠失真，通常要求信号的最高频率 $f_c<F_s/2$。

频率分辨率用频率采样间隔 $F$ 描述，$F$ 表示谱分析中能够分辨的两个频率分量的最小间隔。显然，$F$ 越小，谱分析就越接近 $X_a(jf)$，所以 $F$ 较小时，我们称频率分辨率较高。

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P125~P126

DFT（实际中用 FFT 计算）可用来对连续信号和数字信号进行谱分析。在实际分析过程中，要对连续信号采样和截断，有些非时限数据序列也要截断，由此可能引起分析误差。下面分别对可能产生误差的三种现象进行讨论。

（1）混叠现象

对连续信号进行谱分析时，首先要对其采样，变成时域离散信号后才能用 DFT (FFT) 进行谱分析。采样速率 $F_s$ 必须满足采样定理，否则会在 $\omega =\pi$（对应模拟频率 $f=F_s/2$）附近发生频谱混叠现象。这时用 DFT 分析的结果必然在 $f=F_s/2$ 附近产生较大误差。因此，理论上必须满足 $F_s\ge 2f_c$（$f_c$ 为连续信号的最高频率）。对 $F_s$ 确定的情况，一般在采样前进行预滤波，滤除高于折叠频率 $F_s/2$ 的频率成分，以免发生频谱混叠现象。

（2）栅栏效应

我们知道，$N$ 点 DFT 是在频率区间 $[0,2\pi ]$ 上对时域离散信号的频谱进行 $N$ 点等间隔采样，而采样点之间的频谱是看不到的。这就好比从 $N$ 个栅栏缝隙中观看信号的频谱情况，仅得到 $N$ 个缝隙中看到的频谱函数值。因此称这种现象为栅栏效应。

由于栅栏效应，有可能漏掉（挡住）大的频谱分量。为了把原来被“栅栏”挡住的频谱分量检测出来，就必须提高频率分辨率。

• 对于有限长序列：可以在原序列尾部补零；
• 对于无限长序列：可以增大截取长度及 DFT 变换区间长度。

从而使频域采样间隔变小，增加频域采样点数和采样点位置，使原来漏掉的某些频谱分量被检测出来。对连续信号的谱分析，只要采样速率 $F_s$ 足够高，且采样点数满足频率分辨率要求，就可以认为 DFT 后所得离散谱的包络近似代表原信号的频谱。

（3）截断效应

实际中遇到的序列 $x(n)$ 可能是无限长的，用 DFT 对其进行谱分析时，必须将其截短，形成有限长序列 $y(n)=x(n)w(n)$，$w(n)$ 称为窗函数，长度为 $N$。$w(n)=R_N(n)$，称为矩形窗函数。

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由于内容过于繁多，第四章与第七章暂不整理。

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部分作业题的解题过程与思路

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第1章 13

对于连续信号 $x_a(t)=\cos (2\pi ft+\pi /2)$，其基本周期的计算过程如下：

1. 识别角频率

连续标准余弦信号的一般形式为 $x(t)=A\cos (\mathrm{\Omega }t+\varphi )$，其中 $\mathrm{\Omega }$ 是角频率（单位为弧度/秒），$\varphi$ 是初始相位。

对比题目信号，可以提取出角频率：

$$\mathrm{\Omega }=2\pi f$$

注：公式中的 $\pi /2$ 是相位偏移，它只会使波形在时间轴上发生左右平移，不会改变信号的周期。

2. 计算周期

连续余弦信号的周期 $T$ 与角频率 $\mathrm{\Omega }$ 的基本关系为：

$$T=\frac{2\pi }{|\mathrm{\Omega }|}$$

3. 代入求解

将 $\mathrm{\Omega }=2\pi f$ 代入上述公式中：

$$T=\frac{2\pi }{|2\pi f|}=\frac{1}{|f|}$$

结论：

该连续信号的周期为 $T=\frac{1}{|f|}$。

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对连续信号进行采样，其核心过程就是将连续时间变量 $t$ 替换为离散的时间点 $n{T}_s$，其中 $T_s$ 是采样间隔，$n$ 是整数（代表采样点序号）。

1. 明确采样关系

已知连续信号：

$$x_a(t)=\cos (2\pi ft+\pi /2)$$

采样间隔：

$$T_s=0.02\text{ 秒}$$

采样后的离散时间信号 $x[n]$ 可以表示为：

$$x[n]=x_a(n{T}_s)$$

2. 代入求解

将 $t=n\times 0.02$ 代入原信号的表达式中：

$$x[n]=\cos (2\pi f(0.02n)+\pi /2)$$

化简各项相乘的部分：

$$x[n]=\cos (0.04\pi fn+\pi /2)$$

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与连续信号不同，离散时间正弦信号不一定都是周期的。它的周期性取决于其角频率与 $2\pi$ 之间的比值是否为有理数。

我们来一步步推导 $x[n]$ 的周期：

1. 提取离散角频率

已知上一步求得的采样信号为：

$$x[n]=-\sin (0.04\pi fn)$$

其中，离散角频率（通常用 $\omega$ 表示）为：

$$\omega =0.04\pi f$$

2. 判定离散周期的条件

一个离散正弦序列具有周期 $N$（$N$ 必须是正整数）的充要条件是，存在一个整数 $k$，使得：

$$\omega N=2\pi k$$

或者写成比值的形式：

$$\frac{\omega }{2\pi }=\frac{k}{N}$$

也就是说，$\frac{\omega }{2\pi }$ 必须是一个有理数。如果比值是无理数，则该离散信号是非周期的。

3. 代入已知参数

将我们的 $\omega =0.04\pi f$ 代入比值公式中：

$$\frac{\omega }{2\pi }=\frac{0.04\pi f}{2\pi }=0.02f=\frac{f}{50}$$

以上内容均由ai生成，答案正确，但过程略显繁琐，实际计算无需这么多步骤，可以自行化简。

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第3章 18

已知条件：

• 谱分辨率要求：$F\le 50\text{ Hz}$

• 信号最高频率：$f_{max}=1\text{ kHz}=1000\text{ Hz}$

1. 最小记录时间 $T_{pmin}$

根据频率分辨率与记录时间的关系 $F=\frac{1}{T_p}$，为了满足 $F\le 50\text{ Hz}$：

$$\frac{1}{T_p}\le 50$$$$T_p\ge \frac{1}{50}=0.02\text{ s}$$

答：最小记录时间 $T_{pmin}=0.02\text{ s}$ （即 $20\text{ ms}$）。

2. 最大取样间隔 $T_{max}$

根据奈奎斯特采样定理，采样频率 $f_s$ 必须满足：

$$f_s\ge 2f_{max}=2\times 1000\text{ Hz}=2000\text{ Hz}$$

因此，最低的采样频率为 $f_{smin}=2000\text{ Hz}$。 取样间隔 $T=\frac{1}{f_s}$，显然当 $f_s$ 取最小值时，$T$ 取得最大值：

$$T_{max}=\frac{1}{f_{smin}}=\frac{1}{2000}=0.0005\text{ s}$$

答：最大取样间隔 $T_{max}=0.0005\text{ s}$ （即 $0.5\text{ ms}$）。

3. 最少采样点数 $N_{min}$

总记录时间等于采样点数乘以取样间隔，即 $T_p=N\cdot T$。 为了求最少采样点数，我们需要使用最小记录时间和最大取样间隔（或最低采样频率）：

$$N_{min}=\frac{T_{pmin}}{T_{max}}=T_{pmin}\cdot f_{smin}$$$$N_{min}=0.02\text{ s}\times 2000\text{ Hz}=40$$

答：最少采样点数 $N_{min}=40$。 (注：在实际的微处理机工程应用中，为了使用快速傅里叶变换（FFT）算法提高计算效率，通常会将 $N$ 向上取为 2 的整数次幂，例如 $N=64$。但从纯理论计算最小满足条件的角度，答案为 40。)

4. 频率分辨率提高1倍的 $N$ 值

题目要求：“在频带宽度不变的情况下，使频率分辨率提高1倍（即 $F$ 缩小一半）”。

• 频带宽度不变：意味着分析信号的最高频率不变，即采样频率 $f_s$ 保持不变（仍取 $2000\text{ Hz}$）。

• 频率分辨率提高1倍：新的频率分辨率 $F^{\prime }=\frac{F}{2}\le 25\text{ Hz}$。

根据公式 $N=\frac{f_s}{F}$： 新的采样点数 $N^{\prime }$ 为：

$$N^{\prime }=\frac{f_s}{F^{\prime }}=\frac{2000\text{ Hz}}{25\text{ Hz}}=80$$

(直观理解：既然采样频率不变，要让分辨率翻倍，就必须让观察信号的时间翻倍，因此采样点数也需要直接翻倍。 $40\times 2=80$)

答：使频率分辨率提高 1 倍的 $N$ 值为 $80$。

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第4章 1

如果某通用单片计算机的速度为平均每次复数乘需要 $4\mu s$，每次复数加需要 $1\mu s$，用来计算 $N=1024$ 点 DFT，问直接计算需要多少时间？用 FFT 计算呢？

已知条件：

• 计算点数：$N=1024$

• 复数乘法耗时：$t_{mul}=4\mu s$

• 复数加法耗时：$t_{add}=1\mu s$

1. 直接计算 DFT 耗时

根据 DFT 定义公式 $X(k)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk}$，直接计算 $N$ 点 DFT 的计算量为：

• 复数乘法次数：$N^2$

• 复数加法次数：$N(N-1)$

代入 $N=1024$：

• 复数乘法次数 $={1024}^2=1,048,576$ 次

• 复数加法次数 $=1024\times 1023=1,047,552$ 次

直接计算总耗时 $T_{DFT}$：

$$T_{DFT}=1048576\times 4\mu s+1047552\times 1\mu s$$$$T_{DFT}=4,194,304\mu s+1,047,552\mu s=5,241,856\mu s$$

换算成秒：$T_{DFT}\approx 5.24$ 秒。

2. 用 FFT (基-2) 计算耗时

采用基-2 FFT 算法时（设 $N=2^M$，则 $M={\log }_{2}N={\log }_{2}1024=10$），整个蝶形图有 $M$ 级，每级有 $\frac{N}{2}$ 个蝶形运算。每个基-2蝶形运算包含 1 次复数乘法和 2 次复数加法。因此整体计算量为：

• 复数乘法次数：$\frac{N}{2}{\log }_{2}N$

• 复数加法次数：$N{\log }_{2}N$

代入 $N=1024$：

• 复数乘法次数 $=\frac{1024}{2}\times 10=5120\times 10=5,120$ 次

• 复数加法次数 $=1024\times 10=10,240$ 次

FFT 计算总耗时 $T_{FFT}$：

$$T_{FFT}=5120\times 4\mu s+10240\times 1\mu s$$$$T_{FFT}=20,480\mu s+10,240\mu s=30,720\mu s$$

换算成毫秒：$T_{FFT}=30.72$ 毫秒 (约 $0.03$ 秒)。

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第4章 图4.2.4默写

本节内容请参考课本对应图片

要看懂或画出 8点 DIT-FFT（按时间抽选的基-2快速傅里叶变换）运算流图，我们需要从最基础的知识点开始“搭积木”。

1. 核心思想：分治法 (Divide and Conquer)

DIT-FFT 的核心思路是：将一个长序列的 DFT，不断地拆分成两个短序列的 DFT。 具体做法是按时间序列索引的奇偶性进行拆分：

• 第一步拆分：将 $N=8$ 拆成两个 $N=4$ （偶数索引 $x(0,2,4,6)$ 构成一个，奇数索引 $x(1,3,5,7)$ 构成一个）。

• 第二步拆分：将每个 $N=4$ 再拆成两个 $N=2$。

• 第三步拆分：$N=2$ 本身就是最基础的单元。 由于 $8=2^3$，所以整个运算流图需要经过 $M=3$ 级的运算。

2. 基础建筑模块：蝶形运算 (Butterfly Operation)

流图中最基本的交叉结构像一只蝴蝶，被称为“蝶形运算”。 一个标准的基-2蝶形运算包含两个输入端（设为 $A$ 和 $B$）和两个输出端（设为 $X$ 和 $Y$），以及一个“旋转因子”（$W_N^k$）。它的数学本质是：

• 上端输出：$X=A+B\cdot W_N^k$

• 下端输出：$Y=A-B\cdot W_N^k$

图解提示：在流图中，两根线相交并带有箭头，$W_N^k$ 通常标注在交叉点前的下分支上，下分支连接到下输出端时通常会带有一个 $-1$ 的系数（表示相减）。

3. 第一步：输入端序列的“倒位序” (Bit-Reversal)

因为我们在推导中不断按“奇偶”将时间序列（Time）抽选打乱，最终送入流图第一级的输入信号不再是 $x(0),x(1),x(2)...$ 这样的自然顺序，而是发生了码位倒置。 什么是倒位序？把自然索引的二进制码颠倒过来：

• 0 (000) $\to$ 颠倒后还是 (000) $\to$ 0 $\Rightarrow$ $x(0)$

• 1 (001) $\to$ 颠倒后变成 (100) $\to$ 4 $\Rightarrow$ $x(4)$

• 2 (010) $\to$ 颠倒后还是 (010) $\to$ 2 $\Rightarrow$ $x(2)$

• 3 (011) $\to$ 颠倒后变成 (110) $\to$ 6 $\Rightarrow$ $x(6)$

• 4 (100) $\to$ 颠倒后变成 (001) $\to$ 1 $\Rightarrow$ $x(1)$

• 5 (101) $\to$ 颠倒后还是 (101) $\to$ 5 $\Rightarrow$ $x(5)$

• 6 (110) $\to$ 颠倒后变成 (011) $\to$ 3 $\Rightarrow$ $x(3)$

• 7 (111) $\to$ 颠倒后还是 (111) $\to$ 7 $\Rightarrow$ $x(7)$

所以，运算流图最左侧的输入端，从上到下的顺序固定为：$x(0),x(4),x(2),x(6),x(1),x(5),x(3),x(7)$。

4. 第二步：逐级分析运算流图 (3级流水线)

对于 8 点 DIT-FFT，一共有 ${\log }_2(8)=3$ 级（列）蝶形运算。每一级有 $8/2=4$ 个蝶形。

第 1 级 (运算单元距离为 1)

• 计算内容：计算 4 个 2点DFT。

• 连线规律：相邻的两个点交叉组合形成一个蝶形。

  • 蝶形1：$x(0)$ 和 $x(4)$ 交叉

  • 蝶形2：$x(2)$ 和 $x(6)$ 交叉

  • 蝶形3：$x(1)$ 和 $x(5)$ 交叉

  • 蝶形4：$x(3)$ 和 $x(7)$ 交叉

• 旋转因子：所有蝶形的下支路均乘以 $W_8^0=1$。

第 2 级 (运算单元距离为 2)

• 计算内容：将前一级输出的 2点DFT 组合成 2 个 4点DFT。

• 连线规律：跨越 1 个节点（即距离为 2）进行交叉。分成上下两大组（前四个点一组，后四个点一组）。

  • 上半组蝶形1：第1条线与第3条线交叉。

  • 上半组蝶形2：第2条线与第4条线交叉。

  • 下半组蝶形1：第5条线与第7条线交叉。

  • 下半组蝶形2：第6条线与第8条线交叉。

• 旋转因子：每组里的两个蝶形，下支路依次乘以 $W_8^0$ 和 $W_8^2$。

第 3 级 (运算单元距离为 4)

• 计算内容：将前一级输出的 4点DFT 组合成最终的 1 个 8点DFT。

• 连线规律：跨越 3 个节点（即距离为 4）进行交叉。所有 8 个点都在一组内进行交叉运算。

  • 第1条线与第5条线交叉。

  • 第2条线与第6条线交叉。

  • 第3条线与第7条线交叉。

  • 第4条线与第8条线交叉。

• 旋转因子：四个蝶形的下支路依次乘以 $W_8^0,W_8^1,W_8^2,W_8^3$。

5. 总结：如何默写 N 点 DIT-FFT 流图？

1. 确定级数：画 $M={\log }_{2}N$ 列蝶形。

2. 确定输入：将输入序列按照倒位序排布在左侧。输出端在最右侧，为自然顺序 $X(0)$ 到 $X(N-1)$。

3. 蝶形跨度：第 $m$ 级的跨距为 $2^{m-1}$。（例如第1级相邻跨1，第2级跨2，第3级跨4）。

4. 旋转因子种类：第 $m$ 级需要用到 $2^{m-1}$ 种旋转因子。对于最后级(第3级)，旋转因子按顺序为 $W_N^0,W_N^1,W_N^2\dots W_N^{N/2-1}$。前面级别的旋转因子可以通过公式等效替换（如 $W_4^1=W_8^2$）。

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第7章 1

已知 FIR 滤波器的单位脉冲响应为：$h(n)$ 长度 $N=5$，依次为 $1,-2,7,-2,1$。求幅度特性、相位特性和群延时。

已知条件：

• $h(0)=1$

• $h(1)=-2$

• $h(2)=7$

• $h(3)=-2$

• $h(4)=1$

1. 观察对称性

首先观察给定序列，不难发现它满足：$h(n)=h(4-n)$。 这种以中心点对称，且长度 $N$ 为奇数（$N=5$）的 FIR 滤波器，属于典型的第一类线性相位 FIR 滤波器。其对称中心位于 $\alpha =\frac{N-1}{2}=2$ 处。

2. 求系统的频率响应 $H(e^{j\omega })$

系统的频率响应是单位脉冲响应的离散时间傅里叶变换（DTFT）：

$$H(e^{j\omega })=\sum _{n=0}^{N-1}h(n)e^{-j\omega n}$$

将已知的 $h(n)$ 代入展开：

$$H(e^{j\omega })=1+(-2)e^{-j\omega }+7e^{-j2\omega }+(-2)e^{-j3\omega }+1e^{-j4\omega }$$

为了利用对称性，我们强制提取出中心相移因子 $e^{-j2\omega }$（因为对称中心在 $n=2$）：

$$H(e^{j\omega })=e^{-j2\omega }[1\cdot e^{j2\omega }-2\cdot e^{j\omega }+7-2\cdot e^{-j\omega }+1\cdot e^{-j2\omega }]$$

将括号内正负指数项重新进行配对：

$$H(e^{j\omega })=e^{-j2\omega }[(e^{j2\omega }+e^{-j2\omega })-2(e^{j\omega }+e^{-j\omega })+7]$$

根据欧拉公式 $\cos (\theta )=\frac{e^{j\theta }+e^{-j\theta }}{2}$，有 $e^{j\theta }+e^{-j\theta }=2\cos (\theta )$，将其代入上式得：

$$H(e^{j\omega })=e^{-j2\omega }[2\cos (2\omega )-4\cos (\omega )+7]$$

3. 求幅度特性 $|H(e^{j\omega })|$

从上面的公式可以看出，$H(e^{j\omega })$ 由两部分组成：相移项 $e^{-j2\omega }$ （模为 1）和一个纯实数函数 $A(\omega )=2\cos (2\omega )-4\cos (\omega )+7$。

我们来判断一下 $A(\omega )$ 的正负号。将 $\cos (2\omega )=2{\cos }^2(\omega )-1$ 代入：

$$A(\omega )=2(2{\cos }^2(\omega )-1)-4\cos (\omega )+7$$$$A(\omega )=4{\cos }^2(\omega )-4\cos (\omega )+5$$

配方得到：

$$A(\omega )=(2\cos (\omega )-1{)}^2+4$$

显然，对于任意的 $\omega$，都有 $(2\cos (\omega )-1{)}^2\ge 0$，因此 $A(\omega )\ge 4>0$。 由于该实函数恒为正，幅度特性就直接等于该实函数本身（如果存在负值，需要加绝对值，并发生 $\pi$ 的相位跳变，这里不需要）。

答：幅度特性为

$$|H(e^{j\omega })|=2\cos (2\omega )-4\cos (\omega )+7$$

（或写成 $4{\cos }^2(\omega )-4\cos (\omega )+5$ 亦可）

4. 求相位特性 $\theta (\omega )$

由于上述的幅度函数 $A(\omega )$ 恒大于零，没有引发符号改变的额外相位（跳变），因此系统的总体相位完全由之前提取出的复指数项 $e^{-j2\omega }$ 决定。

答：相位特性为

$$\theta (\omega )=-2\omega$$

（注意这是一个关于 $\omega$ 的线性函数，因此得名“线性相位”。）

5. 求群延时 ${\tau }_g(\omega )$

群延时的定义是相位特性对角频率 $\omega$ 的负导数：

$${\tau }_g(\omega )=-\frac{d\theta (\omega )}{d\omega }$$

将 $\theta (\omega )=-2\omega$ 代入求导：

$${\tau }_g(\omega )=-\frac{d(-2\omega )}{d\omega }=2$$

答：群延时为恒定值 2。 (物理意义：这意味着所有不同频率的信号分量通过该滤波器时，都会被一致地延迟 2 个采样周期，从而保证信号的波形不会发生色散失真。)

以上内容均由ai生成，答案正确，但过程略显繁琐。在我看来，第三步得出 $H(e^{j\omega })=e^{-j2\omega }[2\cos (2\omega )-4\cos (\omega )+7]$ 后，可以直接注意到 $\theta (\omega )$ （相位特性），$H_g(\omega )$ （幅度特性），以及群延时（ $\theta (\omega )$ 的导数）的表达式或值了。

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第7章 10

利用布莱克曼窗（Blackman Window）设计线性相位 FIR 低通滤波器。要求希望逼近的理想低通滤波器通带截止频率 ${\omega }_c=\pi /4\text{rad}$，滤波器长度 $N=21$。求对应的单位脉冲响应 $h(n)$ 的表达式。

已知条件：

• 理想低通截止频率：${\omega }_c=\frac{\pi }{4}$

• 滤波器长度：$N=21$

• 所用窗函数：布莱克曼窗（Blackman window）

1. 确定理想低通滤波器的单位脉冲响应 $h_d(n)$

一个零相位的理想低通滤波器（截止频率为 ${\omega }_c$）在时域的单位脉冲响应为：

$$h_{d,zero}(n)=\frac{\sin ({\omega }_{c}n)}{\pi n}$$

为了设计一个因果的线性相位 FIR 滤波器，我们需要将这个非因果的响应向右平移。平移量（群延时）取决于滤波器的长度 $N$：

$$\alpha =\frac{N-1}{2}=\frac{21-1}{2}=10$$

将响应向右平移 $\alpha =10$ 个单位，得到因果的理想低通脉冲响应 $h_d(n)$：

$$h_d(n)=\frac{\sin [{\omega }_c(n-\alpha )]}{\pi (n-\alpha )}=\frac{\sin [\frac{\pi }{4}(n-10)]}{\pi (n-10)}(n\ne 10)$$

当 $n=10$ 时，利用极限法则 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (ax)}{x}=a$ 可以求出中心点的值：

$$h_d(10)=\frac{{\omega }_c}{\pi }=\frac{\pi /4}{\pi }=0.25$$

2. 写出布莱克曼窗 $w(n)$ 的表达式

对于长度为 $N$ 的布莱克曼窗，其标准数学定义式为：

$$w(n)=0.42-0.5\cos \left(\frac{2\pi n}{N-1}\right)+0.08\cos \left(\frac{4\pi n}{N-1}\right),0\le n\le N-1$$

将 $N=21$ 代入该公式并化简：

$$w(n)=0.42-0.5\cos \left(\frac{2\pi n}{20}\right)+0.08\cos \left(\frac{4\pi n}{20}\right)$$$$w(n)=0.42-0.5\cos \left(\frac{\pi n}{10}\right)+0.08\cos \left(\frac{\pi n}{5}\right),0\le n\le 20$$

3. 计算最终的滤波器单位脉冲响应 $h(n)$

根据窗函数法的设计原理，实际滤波器的单位脉冲响应 $h(n)$ 就是理想滤波器的响应与窗函数在时域相乘（即对理想响应进行“截断”和平滑）：

$$h(n)=h_d(n)\cdot w(n),0\le n\le 20$$

我们将前两步的结果合并，分情况写出最终的 $h(n)$ 表达式：

1) 当 $n\ne 10$ （即 $0\le n\le 20$ 且 $n\ne 10$）时：

$$h(n)=\frac{\sin [\frac{\pi }{4}(n-10)]}{\pi (n-10)}[0.42-0.5\cos \left(\frac{\pi n}{10}\right)+0.08\cos \left(\frac{\pi n}{5}\right)]$$

2) 当 $n=10$ 时： 我们需要分别代入 $n=10$：

• $h_d(10)=0.25$

• $w(10)=0.42-0.5\cos (\pi )+0.08\cos (2\pi )=0.42-0.5(-1)+0.08(1)=0.42+0.5+0.08=1$

因此：

$$h(10)=0.25\times 1=0.25$$

4. 结论总结

答：利用布莱克曼窗设计的线性相位 FIR 低通滤波器，其单位脉冲响应 $h(n)$ 的表达式为：

$$h(n)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin [\frac{\pi }{4}(n-10)]}{\pi (n-10)}[0.42-0.5\cos \left(\frac{\pi n}{10}\right)+0.08\cos \left(\frac{\pi n}{5}\right)],& 0\le n\le 20,n\ne 10\\ 0.25,& n=10\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$

以上内容均由ai生成，答案正确，但过程略显繁琐。实际只用到了 $h_d(n)$ ， $w(n)$ ， 以及 $h(n)$ 的公式（还有一个高等数学的求极限）。甚至只需要记住 $h(n)=h_d(n)w(n)$ 即可。

理解公式中每个符号的意义对于解题来说是很有帮助，强烈建议仔细阅读课本的第7章第2节开头部分的内容。